场的统一描述：微分形式

2026/04/21 10:00

• 三维空间中（规范）场的统一描述

静电场和静磁场的微分形式描述

对于电场 \(\vec{E}\)：

\[ \left \{ \begin{align} &\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} && (\nabla \cdot \vec{E}) dV = \mathrm{d} (\vec{E} \cdot d\vec{S}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0} dV \tag{1} \\ &\nabla \times \vec{E} = 0 && (\nabla \times \vec{E}) \cdot d\vec{S} = \mathrm{d} (\vec{E} \cdot d\vec{l}) = 0 \tag{2} \end{align} \right. \]

对于磁场 \(\vec{B}\)：

\[ \left \{ \begin{align} &\nabla \cdot \vec{B} = 0 && (\nabla \cdot \vec{B}) dV = \mathrm{d} (\vec{B} \cdot d\vec{S}) = 0 \tag{3} \\ &\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} && (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{S} = \mathrm{d} (\vec{B} \cdot d\vec{l}) = \mu_0 \vec{J} \cdot d\vec{S} \tag{4} \end{align} \right. \]

通过外微分，体元、面元、线元之间可以联系起来。假如我们想使用微分形式来描述一个场，该选用哪一项呢？

还是考虑宇称。我们希望：场的宇称为 \(+1\). 电场 \(\vec{E}\) 是矢量，宇称为 \(-1\)；磁场 \(\vec{B}\) 是赝矢量，宇称为 \(+1\). 而线元 \(d \vec{l}\) 宇称为 \(-1\)，面元 \(d S_i = d x_j \wedge d x_k\) 宇称为 \(+1\)，所以我们选用：

\[ \begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{E} &= \vec{E} \cdot d \vec{l} \\ \mathcal{B} &= \vec{B} \cdot d \vec{S} \end{aligned} \end{equation} \]

记 \(\mathcal{E}, \mathcal{B}\) 为 \(\mathcal{F}\) 的分量，则

\[ \mathrm{d} \mathcal{F} = 0 \]

对于 Maxwell 方程组的另外两个式子，我们想把 \(\vec{E} \cdot d\vec{S}\) 和 \(\vec{E} \cdot d\vec{l}\)，\(\vec{B} \cdot d\vec{l}\) 和 \(\vec{B} \cdot d\vec{S}\) 用统一的运算建立联系。这需要引入霍奇对偶（Hodge dual/star），它把 \(\omega^{(k)}\) 映射到 \(\omega^{(d-k)}\)，其中 \(d\) 是空间维数。

\[ \begin{aligned} \omega^{(k)} &= \frac{1}{k!} \omega_{i_1 i_2 \cdots i_k} d x_{i_1} \wedge d x_{i_2} \wedge \cdots \wedge d x_{i_k} \\ \star \omega^{(k)} &= \frac{1}{k! (d-k)!} \omega_{i_1 i_2 \cdots i_k} \epsilon_{i_1 i_2 \cdots i_d} d x_{i_{k+1}} \wedge d x_{i_{k+2}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_d} \end{aligned} \]

为什么有 Levi-Civita 符号？可以用简单的例子理解。对于电场通量 \(\vec{E} \cdot d\vec{S} = E_1 d x_2 \wedge d x_3 + \ldots\)，而 \(E_1\) 可以视作 \(E_{23}\)