正交曲线坐标系，静电场球坐标系模式分解
2026/03/24 10:00
- 正交曲线坐标系
- 静电场在球坐标系中的本征模式
- 理想电多极子
正交曲线坐标系
\(\{t_1, t_2, t_3\}\) vs. \(\{x_1, x_2, x_3\}\)
两个坐标系中的单位矢量分别记作 \(\{\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3\}\) 和 \(\{\hat{x}_1, \hat{x}_2, \hat{x}_3\}\). 对于任何一个矢量 \(\vec{x}\)，我们写下的坐标 \((x_1, x_2, x_3)\) 实际上意味着这个矢量可以写成 \(\hat{x}_1, \hat{x}_2, \hat{x}_3\) 的线性组合：\(\vec{x} = x_1 \hat{x}_1 + x_2 \hat{x}_2 + x_3 \hat{x}_3\).
正交曲线坐标系，基矢之间满足正交性
\[ \hat{e}_i \cdot \hat{e}_j = \delta_{ij} \]
积分微元的转换
一般的正交曲线坐标系 \(\{t_1, t_2, t_3\}\) 和直角坐标系的不同点：
- 基矢 \(\hat{e}_i(\vec{x})\) 会随位置 \(\vec{x}\) 变化
- \(t_1, t_2, t_3\) 量纲不定，不一定是长度
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关于积分元
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线元 \(d \vec{\ell}\)
\[ \begin{align} d \vec{\ell} &= d x_1 \, \hat{x}_1 + d x_2 \, \hat{x}_2 + d x_3 \, \hat{x}_3 \\ &= f_1 d t_1 \, \hat{e}_1 + f_2 d t_2 \, \hat{e}_2 + f_3 d t_3 \, \hat{e}_3 \tag{1.9} \label{eq:line-element} \end{align} \]
在 \(\hat{e}_1\) 前面是 \(d t_1\)，是因为 \(\hat{e}_1\) 是通过固定 \(t_2, t_3\)，在 \(t_1\) 方向上移动微小距离得到的。而 \(f_1, f_2, f_3\) 可以视作标度，也称拉梅系数（Lamé coefficients）
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面元 \(d \vec{S}\)
\[ \begin{align} d \vec{S} &= d x_2 \wedge d x_3 \, \hat{x}_1 + d x_3 \wedge d x_1 \, \hat{x}_2 + d x_1 \wedge d x_2 \, \hat{x}_3 \\ &= f_2 f_3 d t_2 \wedge d t_3 \, \hat{e}_1 + f_3 f_1 d t_3 \wedge d t_1 \, \hat{e}_2 + f_1 f_2 d t_1 \wedge d t_2 \, \hat{e}_3 \tag{1.10} \label{eq:surface-element} \end{align} \]
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体元 \(d V\)
\[ \begin{align} d V &= d x_1 \wedge d x_2 \wedge d x_3 \\ &= f_1 f_2 f_3 d t_1 \wedge d t_2 \wedge d t_3 \tag{1.11} \label{eq:volume-element} \end{align} \]
现在讨论微分的关系。而微分关系最重要的是 \(\nabla\) 算子及相关运算。
如何研究微分？我们通过研究积分的被积式出发 \(\xcancel{\int} \boxed{I}\)
梯度
对于任意标量函数 \(\Phi(\vec{x})\)，回想 \(\omega^{(0)} \to \omega^{(1)}\) 的外微分关系：
\[ \begin{equation} \mathrm{d} \Phi(\vec{x}) = \Big(\nabla \Phi(\vec{x}) \Big) \cdot d \vec{\ell} \end{equation} \]
这个式子甚至可以当做梯度的定义。在正交曲线坐标系中展开左边：
\[ \mathrm{d} \Phi(\vec{x}) = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \Phi}{\partial t_i} d t_i \]
右边是
\[ \Big(\nabla \Phi(\vec{x}) \Big) \cdot \sum_{i=1}^3 f_i d t_i \, \hat{e}_i \]
对应系数可得
\[ \begin{equation} \label{eq:gradient} \nabla \Phi(\vec{x}) = \sum_{i=1}^3 \frac{1}{f_i} \frac{\partial \Phi}{\partial t_i} \hat{e}_i \end{equation} \]
旋度
对于 \(\omega^{(1)}\) 的外微分：
\[ \begin{equation} \mathrm{d} \omega^{(1)} = \mathrm{d} (\vec{v} \cdot d \vec{\ell}) = \Big(\nabla \times \vec{v} \Big) \cdot d \vec{S} \end{equation} \]
这也是旋度的定义。利用 \eqref{eq:line-element} 展开 LHS：
\[ \begin{aligned} \mathrm{d} (\vec{v} \cdot d \vec{\ell}) = \mathrm{d} (f_1 v_1 d t_1 + f_2 v_2 d t_2 + f_3 v_3 d t_3) &= \Big[ \partial_{t_2} (f_3 v_3) - \partial_{t_3} (f_2 v_2) \Big] d t_2 \wedge d t_3 \\ &+ \Big[ \partial_{t_3} (f_1 v_1) - \partial_{t_1} (f_3 v_3) \Big] d t_3 \wedge d t_1 \\ &+ \Big[ \partial_{t_1} (f_2 v_2) - \partial_{t_2} (f_1 v_1) \Big] d t_1 \wedge d t_2 \end{aligned} \]
对照 \eqref{eq:surface-element}，可得
\[ \begin{equation} \label{eq:curl} \nabla \times \vec{v} = \frac{\partial_{t_2} (f_3 v_3) - \partial_{t_3} (f_2 v_2)}{f_2 f_3} \hat{e}_1 + \frac{\partial_{t_3} (f_1 v_1) - \partial_{t_1} (f_3 v_3)}{f_3 f_1} \hat{e}_2 + \frac{\partial_{t_1} (f_2 v_2) - \partial_{t_2} (f_1 v_1)}{f_1 f_2} \hat{e}_3 \end{equation} \]
散度
对于 \(\omega^{(2)}\) 的外微分：
\[ \begin{equation} \mathrm{d} \omega^{(2)} = \mathrm{d} (\vec{v} \cdot d \vec{S}) = \Big(\nabla \cdot \vec{v} \Big) d V \end{equation} \]
利用 \eqref{eq:surface-element} 展开 LHS：
\[ \begin{aligned} \mathrm{d} (\vec{v} \cdot d \vec{S}) &= \mathrm{d} (f_2 f_3 v_1 \, d t_2 \wedge d t_3 + f_3 f_1 v_2 \, d t_3 \wedge d t_1 + f_1 f_2 v_3 \, d t_1 \wedge d t_2) \\ &= \Big[ \partial_{t_1} (f_2 f_3 v_1) + \partial_{t_2} (f_3 f_1 v_2) + \partial_{t_3} (f_1 f_2 v_3) \Big] d t_1 \wedge d t_2 \wedge d t_3 \end{aligned} \]
结合 \eqref{eq:volume-element} 可得
\[ \begin{equation} \label{eq:divergence} \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial_{t_1} (f_2 f_3 v_1) + \partial_{t_2} (f_3 f_1 v_2) + \partial_{t_3} (f_1 f_2 v_3)}{f_1 f_2 f_3} \end{equation} \]
拉普拉斯算子
\(\nabla^2 \Phi \equiv \nabla \cdot (\nabla \Phi)\)
球坐标