张量基础
2026/03/17 10:00
推导恒等式 \(\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} = \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}\).
一步步从 \(\delta_{ij}\) 构造。因为 \(\epsilon_{ijk}\) 的取值只能是 \(1, -1, 0\)，所以可以尝试用 \(\delta_{ij}\) 的组合来表示，反对称性就认为加上符号来解决。
对于更一般的情况 \(\epsilon_{i_1 i_2 i_3} \epsilon_{j_1 j_2 j_3}\)，先考虑 \(123123\)：
\[ \epsilon_{i_1 i_2 i_3} \epsilon_{j_1 j_2 j_3} \doteq \delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_2} \delta_{i_3 j_3} \]
这是满足的，但不满足反对称性。可以先考虑 \(j\) 的置换。因为 \(j_1 j_2 j_3\) 有三个，所以共 6 种置换方式：
\[ \begin{aligned} \epsilon_{i_1 i_2 i_3} \epsilon_{j_1 j_2 j_3} &\doteq \delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_2} \delta_{i_3 j_3} - \delta_{i_1 j_2} \delta_{i_2 j_1} \delta_{i_3 j_3} - \delta_{i_1 j_3} \delta_{i_2 j_2} \delta_{i_3 j_1} \\ &- \delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_3} \delta_{i_3 j_2} + \delta_{i_1 j_2} \delta_{i_2 j_3} \delta_{i_3 j_1} + \delta_{i_1 j_3} \delta_{i_2 j_1} \delta_{i_3 j_2} \end{aligned} \]
这样就满足了 \(j\) 的反对称性。如果把每一项中 \(\delta\) 的顺序按 \(j_1 j_2 j_3\) 来排列（比如 \(\delta_{i_1 j_2} \delta_{i_2 j_3} \delta_{i_3 j_1} \to \delta_{i_3 j_1} \delta_{i_1 j_2} \delta_{i_2 j_3}\)），就会发现 \(i\) 也完成了全部的置换！所以上式就是严格成立的：
\[ \begin{equation} \tag{1.10} \label{eq:epsilon-epsilon} \begin{aligned} \epsilon_{i_1 i_2 i_3} \epsilon_{j_1 j_2 j_3} &= \delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_2} \delta_{i_3 j_3} - \delta_{i_1 j_2} \delta_{i_2 j_1} \delta_{i_3 j_3} - \delta_{i_1 j_3} \delta_{i_2 j_2} \delta_{i_3 j_1} \\ &- \delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_3} \delta_{i_3 j_2} + \delta_{i_1 j_2} \delta_{i_2 j_3} \delta_{i_3 j_1} + \delta_{i_1 j_3} \delta_{i_2 j_1} \delta_{i_3 j_2} \end{aligned} \end{equation} \]
回到 \(\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}\)，在上式中令两个指标强行相等（相当于 \(\delta_{k_1 k_2} \epsilon_{ijk_1} \epsilon_{k_2 lm}\)，这称为缩并），不妨考虑 \(i = 1, j = 2, l = 1, m = 2\)：
\[ \epsilon_{123} \epsilon_{321} = 1 = \]
所有分量都是由全反对称性联系在一起的，所以只要考虑一个分量就可以了！
奇怪的问题
我们已经习惯了
\[ \int_V (\nabla \cdot \vec{v}) \, dV = \int_{\partial S} \vec{v} \cdot d\vec{S} \]
那我就是要问旋度的体积分呢？
\[ \int_V (\nabla \times \vec{v}) \, dV = \int_{\partial V} ? \]
观察
\[ \int_V \partial_i v_i \, dV = \int_{\partial V} v_i \, d S_i \]
只要体积分的被积式有一个指标和 \(\partial\) 相同，就满足这个式子。
\[ \int_{\partial V} d \vec{S} = ? \]
预计是 0，因为总有一对方向相反的面元。