静电场多极展开

2026/03/26 8:00

• 理想电多极子（点源）
• 点源在外场中的能量与受力
• 通量

在空间中的一个有限区域内，存在有限的电荷量。如果这个区域的尺度比它到测量点的距离小得多（\(\delta / |\vec{x}| \ll 1\)），就可以把这个区域内的电荷做多极展开：

\[ \phi(\vec{x}) = \sum_{\ell = 0}^{\infty} \frac{a_\ell}{|\vec{x}|^{\ell + 1}} P_\ell(\cos \theta) \]

这里假设是球对称的情况。\(a_\ell\) 是包含 \(\delta\) 的有量纲系数。

先考虑 \(\ell = 0\)，在一个固定球面上计算通量：

\[ \int_{|\vec{x}| = L} (- \nabla \phi) \cdot d \vec{S} = \int_{|\vec{x}| = L} \frac{a_0}{|\vec{x}|^2} P_0(\cos \theta) d S = 4 \pi a_0 \propto Q \]

所以 \(a_0\) 应该是和电荷量 \(Q\) 成正比的。那么对于 \(\ell > 1\) 的 \(a_\ell\)，它们的意义是什么呢？如果仅仅把点源当作点电荷，就解释不了后面的项！

在有限区域内分布着 \(\rho(\vec{x})\)，尺度上有 \(|\vec{x}'| \leqslant \delta \ll |\vec{x}|\).

\[ \phi(\vec{x}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \frac{\rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|} \]

先研究泊松方程

\[ \begin{equation} \nabla^2 \frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'|} = 0 \end{equation} \]

记 \(|\vec{x}| = r |\vec{x}'|, t = \frac{\vec{x} \cdot \vec{x}'}{|\vec{x}||\vec{x}'|} = \cos \theta\)，则

\[ |\vec{x} - \vec{x}'|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{x}'|^2 - 2 \vec{x} \cdot \vec{x}' = |\vec{x}'|^2 (r^2 + 1 - 2 r t) \]

将 \(\frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'|}\) 展开：

\[ \frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'|} = \sum_{\ell = 0}^{\infty} \frac{|\vec{x}'|^\ell}{|\vec{x}|^{\ell + 1}} a_\ell(t) \]

将上式代入泊松方程，

\[ \phi(\vec{x}) = \sum_{\ell = 0}^{\infty} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}' P_\ell(t) \frac{|\vec{x}'|^\ell}{|\vec{x}|^{\ell + 1}} \]

• \(\ell = 0\)

\[ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}' \frac{1}{|\vec{x}|} \]

• \(\ell = 1\)

\[ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}' \frac{x'_i x_i}{|\vec{x}|^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p_i x_i}{|\vec{x}|^3} \]

\(p_i\) 为电偶极矩

• \(\ell = 2\)

\[ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}' \frac{3 t^2 - 1}{2} \frac{|\vec{x}'|^2}{|\vec{x}|^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p_{ij} x_i x_j}{|\vec{x}|^5} \]

\(p_{ij}\) 为原点上的理想电四极矩

利用

\[ \frac{3 (\vec{x}' \cdot \vec{x})^2 - |\vec{x}'|^2 |\vec{x}|^2}{2 |\vec{x}|^5} = \frac{1}{2} (3 x'_i x'_j - |\vec{x}'|^2 \delta_{ij}) \frac{x_i x_j}{|\vec{x}|^5} \]

\[ P_{ij} = \int_V \rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}' \frac{3 x'_i x'_j - |\vec{x}'|^2 \delta_{ij}}{2} \]

满足

• 对称 \(P_{ij} = P_{ji}\)
• 无迹 \(P_{ij} \delta_{ij} = 0\)

自由度：\(Y_{\ell, m}\) 对于 \(\ell = 2\)，\(m = -2, -1, 0, 1, 2\) 有五个取值，恰好对应了 \(P_{ij}\) 有五个独立分量。