静电场中的边界问题，镜像法

2026/04/02 8:00

  • 静电场中的边界问题
  • 镜像法

边界条件：

  • Dirichlet: \(\phi(\vec{x} \in \partial V) = V(\vec{x} \in V)\)

  • Neumann: \(\vec{E}_\perp (\vec{x} \in \partial V) = W (\vec{x} \in V)\)

  • （理想）导体：存在电势差就会产生电流，而我们考虑稳恒的情形

    1. 内部 \(\vec{E}(\vec{x}) = \vec{0}\)
    2. 等势体 \(\vec{E} \perp d \vec{S}\)
    3. 在表面 \(\vec{E}_{\text{外}} \cdot d \vec{S} = \frac{\sigma |d \vec{S}|}{\varepsilon_0}\)，利用 \(\hat{\vec{n}} = \frac{d \vec{S}}{|d \vec{S}|}\)，可以得到 \(\vec{E}_{\text{外}} \cdot \hat{\vec{n}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)，此即 Neumann 边界条件
    4. 导体（实心）：电荷只能在表面上（用高斯定理可以论证，内部有电荷违反了第一条）
    5. 空腔里没有电荷，则内表面也无电荷
  • 边界电荷
    • 一均匀带电薄膜将一个空腔区域分为 A, B 两部分
    • A：\(\nabla^2 \phi_A = 0, \; \phi_A \Big|_{\vec{x} \in \text{界面}} = \phi_B \Big|_{\vec{x} \in \text{界面}}\)（Dirichlet 型）
    • B：\(\nabla^2 \phi_B = 0, \; \vec{E}_B \cdot d \vec{S} - \vec{E}_A \cdot d \vec{S} = \frac{\sigma |d \vec{S}|}{\varepsilon_0}\)（Neumann 型）
\[\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

分解为 \(\phi = \tilde{\phi} + \tilde{\tilde{\phi}}\).

通解 \(\tilde{\phi}\) 前面已讨论过：将电势用球谐函数展开。径向分量 \(r^\ell, r^{-(\ell+1)}\) 按问题的边界条件选取

  • 延伸到无穷远：\(b_{\ell, m} r^{-\ell-1}\)
  • 球形区域内：\(a_{\ell, m} r^\ell\)
  • 球壳内：\(a_{\ell, m} r^\ell + b_{\ell, m} r^{-\ell-1}\)

特解 \(\tilde{\tilde{\phi}}\) 的寻找很有灵活性：特解的边界条件是自己随意定的，只要最终的 \(\phi\) 满足实际的边界条件就行了。

💡 无限延伸的均匀带电平板周围框一个区域出来，和这个空腔区域内有一个均匀带电薄膜在中间挡着是等价的；甚至再在旁边加一个无限大均匀带负电的平板也是等价的

❓ 在无限空间 \(\mathbb{R}^3\) 中，只要库仑定律就能得到电势分布。但是在一个有限区域内，外部的情况无从得知，如何得到推广的“库仑定律”？

\[ \begin{aligned} \phi(\vec{x}) = \int \frac{\rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}'}{\varepsilon_0} \boxed{\frac{1}{4 \pi |\vec{x} - \vec{x}'|}} \end{aligned} \]